Question

九（1）班數學課題學習小組，為了研究學習二次函數問題，他們經歷了實踐--應用--探究的過程：
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道（如圖①）進行測量，測得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面6.25m，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式；
（2）應用：按規定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙）？
（3）探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：
I．如圖③，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸上，設矩形ABCD的周長為l求l的最大值；
II．如圖④，過原點作一條y=x的直線OM，交拋物線于點M，交拋物線對稱軸于點N，P　為直線0M上一動點，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q，問在直線OM上是否存在點P，使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）根據坐標系可知此函數頂點坐標為（5，6.25）， ∴設拋物線的解析式為， ∵圖象過（10，0）點， ∴， 解得， ∴拋物線的解析式為；
（2）當最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，x=2， 把x=2代入解析式得：y=-0.25（2-5）2+6.25，y=4， ∵4-3.5=0.5， ∴隧道能讓最寬3m，最高3.5m的兩輛廂式貨車居中并列行駛；
（3）I．假設AO=x，可得AB=10-2x， ∴AD=-0.25（x-5）2+6.25， ∴矩形ABCD的周長為l： l=2[-0.25（x-5）2+6.25]+2（10-2x）=-0.5x2+x+20=-0.5（x-1）2+20.5， ∴l的最大值為20.5， II．當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形， ∵P在y=x的圖象上，設P（m，m）， 過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q， ∴∠POA=∠OPA=45°，N點的坐標為（5，5）， ∴Q點的坐標為（m，5）， 把Q點的坐標代入，得， 解得， ∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：（，）或（，）。