Question

如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；

（2）設直線交軸于點．在線段的垂直平分線上是否存在點，使得點到直線的距離等于點到原點的距離？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）過點作軸的垂線，交直線于點，將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為，把代入得．

，

頂點

（2）假設滿足條件的點存在，依題意設，

由求得直線的解析式為，

它與軸的夾角為，設的中垂線交于，則．

則，點到的距離為．

又．

．

平方并整理得：

．

存在滿足條件的點，的坐標為．

（3）由上求得．

①若拋物線向上平移，可設解析式為．

當時，．

當時，．

或．

．

②若拋物線向下移，可設解析式為．

由，

有．

，．

向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移個單位長．