Question

巳知二次函數y＝a(x²－6x＋8)(a＞0)的圖象與x軸分別交于點A、B，與y軸交于點C．點D是拋物線的頂點．

（1）如圖①．連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點O的對應點0'恰好落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；

（2）如圖②，在正方形EFGH中，點E、F的坐標分別是(4，4)、(4，3)，邊HG位于邊EF的右側．小林同學經過探索后發現了一個正確的命題：“若點P是邊EH或邊HG上的任意一點，則四條線段PA、PB、PC、PD不能與任何一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段不能構成平行四邊形)．“若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，剛才的結論是否也成立？請你積極探索，并寫出探索過程；

（3）如圖②，當點P在拋物線對稱軸上時，設點P的縱坐標l是大于3的常數，試問：是否存在一個正數a，使得四條線段PA、PB、PC、PD與一個平行四邊形的四條邊對應相等(即這四條線段能構成平行四邊形)？請說明理由．

【解析】二次函數的綜合運用

 

Answer 1

（1）令y＝0，由解得；

令x＝0，解得y＝8a．

∴點A、B、C的坐標分別是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，

該拋物線對稱軸為直線x＝3．

∴OA＝2．

如圖①，設拋物線對稱軸與x軸交點為M，則AM＝1．

由題意得：．

∴，∴∠O′AM＝60°．

∴，即．∴．

（2）若點P是邊EF或邊FG上的任意一點，結論同樣成立．

(Ⅰ)如圖②，設點P是邊EF上的任意一點(不與點E重合)，連接PM．

∵點E(4，4)、F(4，3)與點B(4，0)在一直線上，點C在y軸上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此時線段PA、PB、PC、PD不能構成平行四邊形．

(Ⅱ)設P是邊FG上的任意一點(不與點G重合)，

∵點F的坐標是(4，3)，點G的坐標是(5，3)．

∴FB＝3，，∴3≤PB<．

∵PC≥4，∴PC>PB．

（3）存在一個正數a，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．

如圖③，∵點A、B時拋物線與x軸交點，點P在拋物線對稱軸上，

∴PA＝PB．

∴當PC＝PD時，線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．

∵點C的坐標是(0，8a)，點D的坐標是(3，－a)．

點P的坐標是(3，t)，

∴PC²＝32＋(t－8a)²，PD²＝(t＋a)²．

整理得7a²－2ta＋1＝0，∴Δ＝4t²－28．

∵t是一個常數且t>3，∴Δ＝4t²－28>0

∴方程7a²－2ta＋1＝0有兩個不相等的實數根．

顯然，滿足題意．

∵當t是一個大于3的常數,存在一個正數，使得線段PA、PB、PC能構成一個平行四邊形．