Question

【題目】D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點，O是△ABC所在平面上的動點，連接OB，OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E．

（1）如圖，當點O在△ABC的內部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）若四邊形DGFE是菱形，點O所在位置應滿足什么條件？（直接寫出答案不需要說明理由．）

（3）在圖2中作出點O，使得四邊形DGFE是正方形（保留作圖痕跡，不寫作法）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時，四邊形DGFE是菱形；（3）如圖2，點O即為所求，見解析．

【解析】

（1）由三角形的中位線定理證DE=BC，DE∥BC，GF=BC，GF∥BC，則可得到DE=GF，DE∥GF，由平行四邊形的判定即可證明結論；

（2）當點O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時，四邊形DGFE是菱形，如圖1-2，連接AO，因為當點O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時，AO=BC，由三角形的中位線定理可證DG=GF=EF=DE，即可得出四邊形DGEF為菱形；

（3）在滿足（2）的條件下，只要AO⊥BC，即可證四邊形DGEF是正方形，過作 的垂線AM，在AM上截取AO，使AO=BC即可得到答案．

（1）證明：∵D、E分別是不等邊三角形ABC的邊AB、AC的中點，

∴DE＝BC，DE∥BC，

∵點G、F分別是OB、OC的中點，

∴GF＝BC，GF∥BC，

∴DE＝GF，DE∥GF，

∴四邊形DGFE是平行四邊形；

（2）解：當點O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時，四邊形DGFE是菱形，理由如下：

如圖1﹣2，連接AO，

當點O在以A為圓心，BC為半徑的圓上時，AO＝BC，

∵D是AB的中點，G是OB的中點，

∴DG＝AO，

同理，EF＝AO，

∴DG＝EF＝AO，

∵AO＝BC，且由（1）知GF＝DE＝BC，

∴DG＝GF＝EF＝DE，

∴四邊形DGEF為菱形；

（3）解：如圖2，點O即為所求，作法如下：

①在線段BC上取點Q，以A為圓心，AQ的長為半徑畫弧，交線段BC于點N；

②分別以Q，N為圓心，大于QN長度為半徑畫弧，兩弧交于點M；

③連接AM，在AM上截取AO，使AO＝BC．