Question

【題目】如圖，O為Rt△ABC的直角邊AC上一點，以O(shè)C為半徑的圓與斜邊AB相切于點D，P是弧CD上任意一點，過點P作⊙O的切線，交BC于點M，交AB于點N，已知AB＝5，AC＝4．

（1）△BMN的周長等于多少；

（2）⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）△BMN的周長為6，（2）⊙O的半徑為1.5．

【解析】

（1）由勾股定理可求得是BC，再證得BC為圓的切線，則可求得BC和BD的長，由切線長定理可求得PM=CM、PN=ND，則可求得答案；
（2）連接OD，設(shè)半徑為r，則AO=4-r，AD=2，在Rt△AOD中，由勾股定理可列方程，可求得r．

（1）在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，

∴BC＝3，

∵AC⊥BC，

∴BC為⊙O的切線，

∵AB為⊙O的切線，

∴BD＝BC＝3，

∵MN為⊙O的切線，

∴PM＝CM，PN＝DN，

∴BM+BN+MN＝BM+PM+BN+PN＝BM+MC+BN+ND＝BC+BD＝3+3＝6，

即△BMN的周長為6，

故答案為：6；

（2）如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的切線，

∴OD⊥AB，

設(shè)半徑為r，則AO＝AC﹣r＝4﹣r，AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，

在Rt△AOD中，由勾股定理可得r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝1.5，

∴⊙O的半徑為1.5．