Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，點E是AC的中點，線段AE以A為中心順時針旋轉，點E落在線段BE上的D處，線段CE以C為中心順時針旋轉，點E落在BE的延長線上的點F處，連接AF，CD.

（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）當BD=CD時，探究線段AB，BC，BF三者之間的等量關系，并證明；

（3）在（2）的條件下，若DE=1，試求BC的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）

【解析】

（1）因為已知條件為AE=CE,只需證明DE=EF,根據等腰三角形的性質得到△AED≌△CEF所需條件；

（2）根據題中條件可得AG⊥BC，進一步證明△BFC為直角三角形，利用勾股定理和等量代換可探究出線段之間的關系；

（3）根據中位線定理可得DG為CF的一半，利用（2）的結論，列方程求解.

解：（1）由旋轉可得，AD=AE,CE=CF,

∴∠ADE=∠AED, ∠CEF=∠CFE,

∵∠AED=∠CEF,

∴∠ADE=∠CFE,

∵E是AC的中點，

∴AE=CE,

∴△AED≌△CEF,

∴DE=EF,

∴四邊形ADCF是平行四邊形；

（2）延長AD交BC于G,

∵AB=AC,BD=CD,

∴AG為BC的垂直平分線，

∴AG⊥BC,

∴∠AGB=90°

∵四邊形ADCF是平行四邊形，

∴AD∥FC,AD=FC,

∴∠AGB=∠FCB=90°,

∴BF2=BC2+FC2，

∵CF=CE=

∴ ,

∴ ;

（3）如圖，∵AB=AC,AG⊥BC,

∴BG=CG,

∵DG∥FC,

∴BD=DF,

∴DG是三角形△BCF的中位線，BF=4，

∴DG ,

設CF=x,則AD=x,DG= ,AB=AC=2x,

∴AG= ,

由勾股定理得，CG= ，

∴BC=，

∵，

∴，

∴x=或x=（不符合題意，舍去），

∴BC=.