Question

我們學習了“弧、弦、圓心角的關系”，實際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系”如下：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角i兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們對應的其余各組量也相等．（弦心距指從圓心到弦的距離（如圖（1）中的OC、OC′），弦心距也可以說成圓心到弦的垂線段的長度．）
請直接運用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系解答下列問題．
如圖（2），O是∠EPF的平分線上一點，以點O為圓心的圓與角的兩邊分別交子點A、B、C、D．
（1）求證：AB=CD；
（2）若角的頂點P在圓上或圓內，上述結論還成立嗎？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．

Answer 1

分析：（1）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出ON=OM，證△OMB≌△OND，推出BM=DN，根據垂徑定理得出AB=2BM，CD=2DN，即可得出答案；
（2）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，求出ON=OM，證△OMB≌△OND，推出BM=DN，根據垂徑定理得出AB=2BM，CD=2DN，即可得出答案．

解答：
（1）證明：如圖1，過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
則∠OMB=∠OND=90°，
∵PO平分∠EPF，
∴OM=ON，
在Rt△OMB和Rt△OND中

PB=OD OM=ON

∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），
∴BM=DN，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，OM、ON過O，
∴AB=2BM，CD=2DN，
∴AB=CD；
（2）還成立，
證明：如圖2，當P在⊙O上時，
∵由（1）知：BM=DN，AB=2BM，CD=2DN，
∴AB=CD；
當P在⊙O內時，如圖3，
∵由（1）知：BM=DN，AB=2BM，CD=2DN，
∴AB=CD．

點評：本題考查了垂徑定理，角平分線性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，證明過程類似．