Question

（2009•衢州）如圖，已知點(diǎn)A（-4，8）和點(diǎn)B（2，n）在拋物線y=ax²上．
（1）求a的值及點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點(diǎn)Q，使得AQ+QB最短，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）平移拋物線y=ax²，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C（-2，0）和點(diǎn)D（-4，0）是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．
①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，A′C+CB′最短，求此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；
②當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把（-4，8）代入y=ax²可求得a的值，把x=2代入所求的拋物線解析式，可得n的值，那么P的坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為-n，求得AP與x軸的交點(diǎn)即為Q的坐標(biāo)；
（2）A′C+CB′最短，說(shuō)明拋物線向左平移了線段CQ的距離，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可；
（3）左右平移時(shí)，使A′D+DB′′最短即可，那么作出點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′，得到直線A′′B′′的解析式，讓y=0，求得相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而得到拋物線頂點(diǎn)平移的規(guī)律，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可．
解答：
解：（1）將點(diǎn)A（-4，8）的坐標(biāo)代入y=ax²，
解得a=；
將點(diǎn)B（2，n）的坐標(biāo)代入y=x²，
求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2），
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，
，
解得：，
∴直線AP的解析式是y=-x+，
令y=0，得x=．
即所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，0）；

（2）①CQ=|-2-|=，（1分）
故將拋物線y=x²向左平移個(gè)單位時(shí)，A′C+CB′最短，

此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=（x+）²；
②左右平移拋物線y=x²，因?yàn)榫�段A′B′和CD的長(zhǎng)是定值，
所以要使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短，只要使A′D+CB′最短；（1分）

第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′＞AD+CB，
因此不存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短；
第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，
則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）．
因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′（-b，2），
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，
點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′（-4-b，-8），
直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2．
要使A′D+DB′′最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上，
將點(diǎn)D（-4，0）代入直線A′′B′′的解析式，解得b=．
故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長(zhǎng)最短，
此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=（x+）²．
點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；拋物線平移，不改變二次項(xiàng)的系數(shù)，看頂點(diǎn)是如何平移的即可；涉及距離之和最小問(wèn)題，應(yīng)從作其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)入手思考．