Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a ，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱(chēng)點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

（1）求點(diǎn)P（﹣2，3）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)；
（2）若a、b為正整數(shù)，點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P(pán)′的坐標(biāo)為（3，6），求出k及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4 ），點(diǎn)A在函數(shù)y=﹣ （x＜0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“﹣ 關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，當(dāng)線段BQ最短時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x=﹣2+ =﹣ ，y=2×（﹣2）+3=﹣1，

∴P′（﹣ ，﹣1）；

（2）解：設(shè)P（a，b），則P′（a ，ka+b）

∴ ，

∴k=2，

∴2a+b=6．

∵a、b為正整數(shù)

∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）解：∵B的“﹣ 關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是A，

∴A（a﹣ ，﹣ a+b），

∵點(diǎn)A還在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上，

∴（﹣ a+b）（a﹣ ）=﹣4 ，

∴（b﹣ a）2=12，

∵b﹣ a＞0，

∴b﹣ a=2 ，

∴b= a+2 ；

∴B在直線y= x+2 上．

過(guò)Q作y= x+2 的垂線QB1，垂足為B1，

∵Q（0，4 ），且線段BQ最短，

∴B1即為所求的B點(diǎn)，

由△MB1Q∽△MON 得 ，

∵ON=2，OM=2 ，

∴MN=4．

又∵M(jìn)Q=2 ，

∴B1Q= ，MB1=3

在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，

∴hB1= ，

∴xB1= ，

∴B（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)新定義求出P′的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)新定義，建立方程組，就可以求出k及點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）根據(jù)題意表示出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)求得b的值，從而求得點(diǎn)B在一次函數(shù)圖像上，過(guò)Q作y= x+2 的垂線QB1，垂足為B1， 則線段BQ最短，B1即為所求的B點(diǎn)，然后由△MB1Q∽△MON 得對(duì)應(yīng)邊成比例，求出MN、B1Q、MB1的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的反比例函數(shù)的圖象和垂線段最短，需要了解反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形．有兩條對(duì)稱(chēng)軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱(chēng)中心是：原點(diǎn)；連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；現(xiàn)實(shí)生活中開(kāi)溝引水，牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用才能得出正確答案．