Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF= DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD為正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴ ，

∵DF= DC，

∴ ，

∴ ，

∴△ABE∽△DEF

（2）解：∵ABCD為正方形，

∴ED∥BG，

∴ ，

又∵DF= DC，正方形的邊長為4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10

【解析】（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得 ，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．
【考點精析】關于本題考查的正方形的性質和平行線分線段成比例，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例才能得出正確答案．