Question

如圖①，直線AB的解析式為y=kx-2k（k＜0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∠ABO=60°．經過A、O兩點的⊙O₁與x軸的負半軸交于點C，與直線AB切于點A．
（1）求C點的坐標；
（2）如圖②，過O₁作直線EF∥y軸，在直線EF上是否存在一點D，使得△DAB的周長最短，若存在，求出D點坐標，不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接OO₁與⊙O₁交于點G，點P為劣弧

GF

上一個動點，連接GP與EF的延長線交于H點，連接EP與OG交于I點，當P在劣弧

GF

運動時（不與G、F兩點重合），O₁H-O₁I的值是否發生變化，若不變，求其值，若發生變化，求出其值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）連接AC∵y=kx-2k∴B（2，0）∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°∴AB=4，OA=2

3

，求出∠CAB=90°則可得出C點的坐標；
（2）取B點關于EF的對稱點M，則M點的坐標為（-8，0），設直線AM的解析式為y=kx+b，求出解析式后再求直線AM與直線EF的交點即可；
（3）連接GF，證明△HGF≌△IEO₁，即可得出O₁H-O₁I的值不發生變化．

解答：解：（1）連接AC
∵y=kx-2k∴B（2，0）
∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°
∴AB=4，OA=2

3

∵AB是切線∴∠CAB=90°，∠ACB=30°
∴AC=4

3

，CO=6
∴C（-6，0）．

（2）存在D點，坐標為D(-3，

5

4

3

)
∵EF過圓心且垂直x軸，
∴EF平分CO
取B點關于EF的對稱點M，則M點的坐標為（-8，0）
設直線AM的解析式為y=kx+b
∵A(0，2

3

)，M（-8，0）∴y=

3

4

x+2

3

直線AM與直線EF的交點即為D點，此時△DAB的周長最短
∴D(-3，

5

4

3

)，

（3）O₁H-O₁I的值不發生變化，O₁H-O₁I=2

3

連接GF，
∵∠GOC=30°
∴∠OO₁E=∠GO₁F=60°
∴△GO₁F為等邊三角形
∴GF=O₁E
∵∠HGF=∠HEP，∠HFG=∠EO₁I=120°
∴△HGF≌△IEO₁
∴HF=IO₁
∴O₁H-O₁I=O₁F=2

3

．

點評：本題考查了一次函數的綜合知識，難度較大，關鍵是巧妙作出輔助線進行解題．