Question

（2011湖南衡陽，26，10分）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m(m＞4)，點P是AB邊上的任意一點（不與A、B重合），連結PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．
(1)當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；
(2)連結AC，若PQ∥AC,求線段BQ的長（用含m的代數式表示）
(3)若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數關系式，并寫出m的取值范圍．

Answer 1

【解】(1) 假設當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合（如下圖），

∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，∴∠APD＋∠BPC=90°，
又∠ADP＋∠APD=90°，∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，∴△PBC∽△DAP，∴，
∴，∴或8，∴存在點P使得點Q與點C重合，出此時AP的長2 或8．
(2)如下圖，∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠BPQ=∠ADP，∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，∴△ABC∽△DAP，∴，即，∴．

∵PQ∥AC，∴∠BPQ=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△PBQ∽△ABC，，即，∴．
(3)由已知PQ⊥PD，所以只有當DP=PQ時，△PQD為等腰三角形（如圖），

∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，∴△PBQ≌△DAP，
∴PB=DA=4，AP=BQ=，
∴以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數關系式為：S_{四邊形PQCD}= S_矩形ABCD－S_△DAP－S_△QBP=
==16（4＜≤8）．

略