Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13厘米，BC=16厘米，CD=5厘米，AB為⊙O的直徑，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動．
（1）求⊙O的直徑；
（2）求四邊形PQCD的面積y關于P、Q運動時間t的函數關系式，并求當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積；
（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DE⊥BC于E，則四邊形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圓的直徑．
（2）要求四邊形PQCD的面積，只需用t表達出CQ和PD．當四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ-PD=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值，從而確定四邊形的面積．
（3）先假設存在，構造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，則存在，若方程無解，則不存在．
解答：解：（1）過點D作DE⊥BC于E，
BE=AD=13，
∵BC=16，
∴EC=3，
在Rt△DCE中，由于DC=5，
則DE=，
所以圓的直徑為4厘米；

（2）當P，Q運動t秒時，由點P，Q的運動速度為1厘米/秒和2厘米/秒，
所以PD=（13-t）厘米，CQ=2t厘米，
所以四邊形PQCD的面積為y=，
即y=2t+26（0＜t≤8）；
當四邊形PQCD為等腰梯形時，CQ-PD=2CE，
所以2t-（13-t）=6，解得t=，
這時y_{四邊形PQCD}=厘米²．

（3）存在．若PQ與圓相切，切點G，作PH⊥BC于H，
所以PA=PG=t，QG=QB=16-2t，
又得到QH=QB-HB=（16-2t）-t=16-3t，PQ=BQ+AP=16-t，
根據勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（16-t）²=16+（16-3t）²，
解得t₁=4+，t₂=4-，
因為4+和4-都在0＜t≤8內，所以在t=（4+）秒或t=（4-）秒時，直線PQ與圓相切．
點評：本題是一個動點問題，解題時要善于將動點問題轉化為靜態題．此題是一個大綜合題，難度較大，有利于培養同學們的鉆研精神和堅韌不拔的意志品質．