Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，⊙A的半徑為1，如圖所示．若點O在BC邊上運動（與點B、C不重合），設BO=x，△AOC的面積為y．
（1）求⊙A與△ABC重疊部分圖形的面積（結果用π的式子表示）；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出函數自變量x的取值范圍；
（3）以點O為圓心，BO長為半徑作圓，求當⊙O與⊙A外切時，△AOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BAC=90°，⊙A的半徑為1，由扇形的面積公式即可求得⊙A與△ABC重疊部分圖形的面積；
（2）由∠BAC=90°，AB=AC=2，根據勾股定理即可求得BC，且∠B=∠C，然后作AM⊥BC，由S_△AOC=OC•AM，即可求得y關于x的函數解析式；
（3）由⊙O與⊙A外切，可得O與A的連接線段必過切點，⊙O半徑為BO，⊙A的半徑為1，可得OA=1+ON，又OB=ON，則OM=（2-ON），根據勾股定理AM²+OM²=OA²，即可求得ON的值，繼而求得△AOC的面積．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，⊙A的半徑為1，
∴⊙A與△ABC重疊部分圖形的面積為：=π；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
由勾股定理知BC==4，且∠B=∠C，
作AM⊥BC，
則∠BAM=45°，BM=CM=2=AM，
∵BO=x，則OC=4-x，
∴S_△AOC=OC•AM=×（4-x）×2=4-x，
即y=4-x （0＜x＜4）；

（3）∵⊙O與⊙A外切，
∴O與A的連接線段必過切點，
設切點為N．
∵⊙O半徑為BO，⊙A的半徑為1，
則OA=1+ON，又OB=ON，則OM=（2-ON），
又∵AM=2，AM⊥BC，
有AM²+OM²=OA²，
即4+（2-ON）²=（1+NO）²，
∴4+4+ON²-4ON=ON²+2ON+1，
∴6NO=7，
則NO==x，
則S_△AOC=4-x=4-=．
點評：此題考查了相切兩圓的性質，三角形面積的求解方法，以及勾股定理的應用等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．