Question

如圖，已知CD是AB的中垂線，垂足為點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：DE=DF；
（2）若線段CE的長為3cm，BC的長為4cm，求出BF的長．

Answer 1

分析：（1）由CD是AB的中垂線，根據線段垂直平分線的性質，可得AC=BC，又由等腰三角形的性質，可得CD是△ABC的角平分線，然后由角平分線的性質，可證得DE=DF；
（2）易證得Rt△ADE≌Rt△BDF，則可得AE=BF，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵CD是AB的中垂線，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED=∠BFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△BDF中，

DE=DF AD=BD

，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴AE=BF，
∵CE=3cm，BC=4cm，
∴BF=AE=AC-CE=BC-CE=1（cm）．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．