Question

【題目】如圖，已知拋物線（a≠0）經過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點B的距離之和最短時，求點P的坐標；

（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（1，0）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數即可；

（2）由圖知：A．B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知，直線l與x軸的交點，即為符合條件的P點；

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

試題解析：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入拋物線中，得：

，解得：，故拋物線的解析式：．

（2）當P點在x軸上，P，A，B三點在一條直線上時，點P到點A、點B的距離之和最短，此時x==1，故P（1，0）；

（3）如圖所示：拋物線的對稱軸為：x==1，設M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，﹣3），則：

=，==，=10；

①若MA=MC，則，得：=，解得：m=﹣1；

②若MA=AC，則，得：=10，得：m=；

③若MC=AC，則，得：=10，得：，；

當m=﹣6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；

綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，）（1，）（1，﹣1）（1，0）．