Question

【題目】如圖1所示，已知：點在雙曲線：上，直線，直線與關于原點成中心對稱，兩點間的連線與曲線第一象限內的交點為，是曲線上第一象限內異于的一動點，過作軸平行線分別交，于兩點.

（1）求雙曲線及直線的解析式；

（2）求證：；

（3）如圖2所示，的內切圓與三邊分別相切于點，求證：點與點重合.(參考公式：在平面坐標系中，若有點，，則A、B兩點間的距離公式為=.

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)把A點坐標代入可求得a值，即可得雙曲線C的解析式，易得與軸的交點分別是，可求得與軸的交點關于原點對稱點的坐標分別為，即可得直線的解析式；(2)設，根據兩點間的距離公式證明出，，所以；（3）與三別分別相切于點所以PR=PS,,可得，又因，所以QO=2而即點與點重合.

試題解析：（1）解：

與軸的交點分別是，它們關于原點的對稱點分別是

（2）設

，

同理

因此

（3）與三別分別相切于點

又，

而

所以，點與點重合.（第三問如果計算得出，并且點與點都在線段內，那么也可以證明點與點重合）