Question

如圖，已知拋物線y=2x²-4x+n與x軸交于不同的兩點A、B，其頂點是C，點D是拋物線的對稱軸與x軸的交點．
（1）求實數n的取值范圍；
（2）求頂點C的坐標和線段AB的長度（用含有m的式子表示）；
（3）若直線y=

2

x+1分別交x軸、y軸于點E、F，問△BDC與△EOF是否有可能全等？如果可能，請證明；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖象可知，拋物線與x軸有兩個交點，因此△＞0；
（2）直接根據頂點式得到頂點坐標和與x軸的交點坐標，再求AB的長度；
（3）要求判定△BDC與△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本題已有∠CDE=∠EOF=90°，BD與OE或OF都可能是對應邊，證出其中一種情形成立即可．解題時要注意“有可能”這個關鍵詞．

解答：解：（1）令y=0，則有2x²-4x+n=0，依題意有
△=16-8n＞0
∴n＜2．
由于拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，
因此0＜n＜2．

（2）y=2x²-4x+n=2（x-1）²+n-2
∴C（1，n-2）
令y=0，2x²-4x+n=0，
解得x=1+

1

2

4-2n

，x=1-

1

2

4-2n

∴B（1+

1

2

4-2n

，0），A（1-

1

2

4-2n

，0）
∴AB=

4-2n

．

（3）易知E（-

2

2

，0），F（0，1）
∴OE=

2

2

，OF=1
由（2）可得BD=

1

2

4-2n

，CD=2-n
當OE=BD時，

1

2

4-2n

=

2

2

解得n=1
此時OF=DC=1
又∵∠EOF=∠CDB=90°
∴△BDC≌△EOF
∴兩三角形有可能全等．

點評：本題是一元二次方程，二次函數與直線形的綜合考查題，綜合性較強．