Question

【題目】如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，頂點D與邊AB的中點重合．

（1）若DE經過點C，DF交AC于點G，求重疊部分（△DCG）的面積；

（2）合作交流：“希望”小組受問題（1）的啟發，將△DEF繞點D旋轉，使DE⊥AB交AC于點H，DF交AC于點G，如圖2，求重疊部分（△DGH）的面積．

Answer 1

【答案】6； ．

【解析】試題分析：(1)、根據題意得出△ABC和△FDE全等，從而得出CG和DG的大小，然后根據三角形的面積計算法則求出三角形的面積；(2)、根據題意得出△ABC和△FDE全等，根據Rt△ABC的勾股定理求出AB的長度，根據中點得出AD的長度。連接BH，根據Rt△ADH的勾股定理求出DH的長度，從而得出△DGH的面積.

試題解析：(1)、∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∴DC=DB=DA．∴∠B=∠DCB．又∵△ABC≌△FDE，

∴∠FDE=∠B．∴∠FDE=∠DCB．∴DG∥BC．∴∠AGD=∠ACB=90°．∴DG⊥AC．又∵DC=DA，

∴G是AC的中點．∴．∴

(2)、如圖2所示：∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，

∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，∴GH=GD，∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3，∴AG=GD，

∴AG=GH，∴點G為AH的中點； 在Rt△ABC中，，

∵D是AB中點，∴，

連接BH．∵DH垂直平分AB，∴AB=BH．設AH=x，則BH=x，CH=8-x，

由勾股定理得：（8-x）2+62=x2，解得x=， ∴DH=．

∴S△DGH＝S△ADH=×××5＝．