Question

【題目】已知二次函數．

（1）該二次函數圖象的對稱軸是x ；

（2）若該二次函數的圖象開口向下，當時， 的最大值是2，求當時， 的最小值；

（3）若對于該拋物線上的兩點， ，當， 時，均滿足，請結合圖象，直接寫出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）－6；（3）4．

【解析】試題分析：

（1）由二次函數的對稱軸為直線即可求出的對稱軸為直線： ；

（2）由題意結合（1）中所得拋物線的對稱軸為直線可得，當時， 最大=，由此可解得；由對稱軸把分為和 兩個部分，結合對稱軸兩側函數的增減性即可求得當時， 的最小值；

（3）由題意可得拋物線和x軸交于點（1，0）和（3，0）；分a>0和a<0兩種情況畫出圖象結合已知條件進行分析解答即可；

試題解析：

（1）∵二次函數圖象的對稱軸為直線，

∴二次函數的圖象的對稱軸為直線： ；

（2）∵ 該二次函數的圖象開口向下，且對稱軸為直線，

∴ 當時，y取到在上的最大值為2.

∴.

∴， .

∵ 當時，y隨x的增大而增大，

∴ 當時，y取到在上的最小值.

∵ 當時，y隨x的增大而減小，

∴ 當時，y取到在上的最小值.

∴ 當時，y的最小值為.

（3）∵二次函數，

∴二次函數的圖象交軸于點（1，0）和（3，0），由此分和畫出圖象如下：

①如圖，當時，拋物線開口向上，由題意可知，此時點Q在直線的右側，由圖可知，此時不存t的值，使當， 時，始終滿足成立；

②當時，拋物線開口向下，由題意可知，此時點Q在直線的右側，由圖可知，當點P在拋物線上點M和點N之間的部分圖象上時，存在t，使當， 時，始終滿足成立；此時，點M1關于拋物線對稱軸的對稱點N的橫坐標為:-1，故，解得，所以的最大值為.

綜合①②可得，滿足條件的的最大值為.