Question

如圖，直線AB過點A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函數的圖象與直線AB交于C、D兩點，P為雙曲線上任意一點，過P點作PQ⊥x軸于Q，PR⊥y軸于R．
（1）用含m、n的代數式表示△AOB的面積S；
（2）若m+n=10，n為何值時S最大并求出這個最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D兩點的坐標；
（4）在（3）的條件，過O、D、C點作拋物線，當該拋物線的對稱軸為x=1時，矩形PROQ的面積是多少？

Answer 1

解：（1）S=OA•OB=mn

（2）由題意可得：m=10-n，
S=mn=n（10-n）=-（n-5）²+
∴當n=5時，Smax=．

（3）設直線AB的解析式為y=kx+b，則有

解得
∴y=-x+n
聯立反比例函數有：
，
解得，
∴C（，），D（，）
∵BD=DC=CA，
∴x_C=2x_D
即=2×，
解得n=．

（4）當n=時，易知C（m，），D（m，3）
根據拋物線的對稱性可知，拋物線必過（2，0）點．
設拋物線的解析式為y=ax（x-2），依題意有：
，
解得m=
設P點的坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），S_□ROQP=ab=m=．
分析：（1）已知了A、B的坐標，即可得出OA、OB的長，根據三角形的面積公式即可求出S的表達式．
（2）將（1）S表達式中的m用n替換掉，即可得出S、n的函數關系式．根據函數的性質即可得出S的最大值及對應的n的值．
（3）可聯立直線AB和反比例函數的解析式，得出C、D的坐標，由于D、C是AB的三等分點，因此C點的橫坐標是D點橫坐標的2倍據此可求出兩點的坐標．
（4）本題的關鍵是求出m的值，可根據C得到n的值表示出C、D的坐標，已知了拋物線的對稱軸為x=1，因此拋物線與x軸的另一交點坐標為（2，0），然后將C、D坐標代入拋物線中，即可求得m的值．而矩形的面積實際是P點橫坐標與縱坐標的積，也就是m的值．
點評：本題是二次函數與反比例函數、一次函數的綜合題．考查了函數圖象交點、圖象面積的求法等知識點．