Question

如圖，AB經過⊙O上的點C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分別與OA、OB的交點D、E恰好是OA、OB的中點，EF切⊙O于點E，交AB于點F．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠A=30°，⊙O的半徑為2，求DF的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）利用等腰三角形的性質以及切線的判定進而得出即可.
（2）利用等腰三角形的性質得出∠FOE=∠B=30°，進而得出FO的長，再利用勾股定理得出DF的長即可．
試題解析：（1）如圖，連接CO，
∵AO=BO，CA=CB，∴CO⊥AB.
∵CO為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線.
（2）如圖，連接FO，
∵OA=OB，∠A=30°，OC⊥AB，CO=2，∴AO=4，∠B=30°.
∵⊙O分別與OA、OB的交點D、E恰好是OA、OB的中點，EF切⊙O于點E，
∴FE⊥BO，OE="BE=2." ∴FO="FB." ∴∠FOE=∠B=30°.
∴，解得：.
∵∠A=∠B=∠BOF=30°，∴∠AOF=90°.
∴.