Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC=90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點D，連接CD并延長交AB的延長線于點F．

（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若∠F=30°，EB=4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖連接OD．

∵四邊形OBEC是平行四邊形，

∴OC∥BE，

∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，

，

∴△COD≌△COA，

∴∠CAO=∠CDO=90°，

∴CF⊥OD，

∴CF是⊙O的切線．

（2）

解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，

∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠DBO=60°，

∵∠DBO=∠F+∠FDB，

∴∠FDB=∠EDC=30°，

∵EC∥OB，

∴∠E=180°﹣∠OBD=120°，

∴∠ECD=180°﹣∠E﹣∠EDC=30°，

∴EC=ED=BO=DB，

∵EB=4，

∴OB=OD═OA=2，

在RT△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，

∴AC=OAtan60°=2 ，

∴S陰=2S△AOC﹣S扇形OAD=2× ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．

【解析】（1）欲證明CF是⊙O的切線，只要證明∠CDO=90°，只要證明△COD≌△COA即可．（2）根據條件首先證明△OBD是等邊三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，推出DE=EC=BO=BD=OA由此根據S陰=2S△AOC﹣S扇形OAD即可解決問題．
本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質、扇形的面積公式、等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造全等三角形，注意尋找特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．