Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）求證：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）x=5；

【解析】

（1）已知AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得 ∠ACB=90°，再由OF⊥AC，即可證得OF∥BC；（2）由兩直線平行，同位角相等可得∠AOF=∠B，再由∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，利用ASA即可證明△AFO≌△CEB；（3）連接OD，利用陰影部分面積=扇形COD的面積-△COD的面積即可求解.

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OF⊥AC，

∴OF∥BC；

（2）∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，

∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，

∴∠BEC=90°，

∵OF⊥AC，

∴∠AFO=∠BEC=90°，

∵在△AFO和△CEB中

∠AFO=∠CEB，OF=BE，∠AOF=∠B，

∴△AFO≌△CEB（ASA）；

（3）連接OD，

由垂徑定理得：CE=DE=5cm，

∵EB=5cm，

∴∠ABC=60°，因為OB=OC，

則△OBC是等邊三角形，

∴∠BOC=60°，

則弧CD所對的圓心角是120°，

在Rt△OCE中，由勾股定理得： ，x=5（cm），

則扇形COD的面積為 .

∵OE=5cm，∴△COD的面積為 ；

∴陰影部分面積為： .