Question

【題目】已知矩形ABCD和點P，當點P在圖1中的位置時，則有結論：S△PBC=S△PAC+S△PCD

理由：過點P作EF垂直BC，分別交AD、BC于E、F兩點．

∵S△PBC+S△PAD=BCPF+ADPE=BC（PF+PE）=BCEF=S矩形ABCD．

（1）請補全以上證明過程．

（2）請你參考上述信息，當點P分別在圖1、圖2中的位置時，S△PBC、S△PAC、SPCD又有怎樣的數量關系？請寫出你對上述兩種情況的猜想，并選擇其中一種情況的猜想給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）猜想結果：圖2結論S△PBC=S△PAC+S△PCD； 圖3結論S△PBC=S△PAC﹣S△PCD，證明見解析.

【解析】

分析圖2，先過點P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點，利用三角形的面積公式可知，經過化簡，等量代換，可以得到S△PBC=S△PAD+S矩形ABCD，而S△PAC+S△PCD=S△PAD+S矩形ABCD，故有S△PBC=S△PAC+S△PCD．

（1）證明：∵S△PAC+S△PCD+S△PAD=S矩形ABCD,

∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S△PAD，

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD；

（2）猜想結果：圖2結論S△PBC=S△PAC+S△PCD； 圖3結論S△PBC=S△PAC﹣S△PCD．

證明：如圖，過點P作EF垂直AD，分別交AD、BC于E、F兩點．

∵S△PBC=BCPF=BCPE+BCEF

=ADPE+BCEF=S△PAD+S矩形ABCD

S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+S矩形ABCD

∴S△PBC=S△PAC+S△PCD．