Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在y正半軸上，OC在x正半軸上，點(diǎn)D是線段OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E，以A、D、E為頂點(diǎn)作矩形ADEF．
（1）求證：△AOD∽△DCE；
（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（7，0）．
①當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)A、F、B三點(diǎn)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)及a、b、c的值；
②若點(diǎn)D（k，0）是線段OC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是否還在①中所求的拋物線上？如果在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不在，請(qǐng)舉反例說(shuō)明；
（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，m），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（n，0），當(dāng)點(diǎn)D在線段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否也存在一條拋物線，使得點(diǎn)F都落在該拋物線上？若存在，請(qǐng)直接用含m、n的代數(shù)式表示該拋物線；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，以及∠OAD=∠EDC，即可得出△AOD∽△DCE；
（2）由△AOD∽△DCE，得出CE=

5

2

，CD=2，進(jìn)而求HF的長(zhǎng)，利用A（0，4）、F（2，

13

2

）、B（7，4），求出二次函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)②式中y=-

1

4

k2+

7

4

k+4，直接將A，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，
∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC，
∴△AOD∽△DCE；

（2）解：①過(guò)F作FH⊥OC交OC于H，交AB于N，
由題意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5
∵△AOD∽△DCE，
∴

OD

CE

=

AO

CD

，
即

5

CE

=

4

2

，
∴CE=

5

2

，CD=2
∵四邊形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°，
∴∠OAD=∠BAF，
∴∠EDC=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC，
∴AN=DC=2，F(xiàn)N=EC=

5

2

，
∴FH=

13

2

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，

13

2

），
由A（0，4）、F（2，

13

2

）、B（7，4），
得

c=4 13 2 =4a+2b+c 4=49a+7b+c

，
解得

a=- 1 4 b= 7 4 c=4

，
∴過(guò)A、F、B三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式為：y=-

1

4

x2+

7

4

x+4；

②點(diǎn)F在①中所求的拋物線上．
理由是：由（2）中①可知，
拋物線的表達(dá)式為：y=-

1

4

x2+

7

4

x+4，
當(dāng)D（k，0）時(shí)，則DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC
求得：F（7-k，4+

k(7-k)

4

），
將x=7-k代入y=-

1

4

x2+

7

4

x+4得，y=-

1

4

k2+

7

4

k+4，
又4+

k(7-k)

4

=-

1

4

k2+

7

4

k+4
所以點(diǎn)F在①中所求的拋物線上．

（3）解：存在一條拋物線，使得點(diǎn)F都落在該拋物線上．
該拋物線的表達(dá)式為：y=-

1

m

x2+

n

m

x+m．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，是一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)．