Question

如圖，在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點E．

（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且點D在⊙O的外部，判斷直線AD與⊙O的位置關系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）∵半徑OC垂直于弦AB，∴AE=BE=AB=4。
在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，∴根據勾股定理，得OE=3。
∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2。
在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，∴。
（2）AD與⊙O相切。證明如下：
∵半徑OC垂直于弦AB，∵。∴∠AOC=2∠BAC。
∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD。
∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°。∴OA⊥AD。
∵OA是⊙O的半徑，∴AD為⊙O的切線。

（1）根據垂徑定理由半徑OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根據勾股定理計算出OE=3，則EC=2，然后在Rt△AEC中根據正切的定義可得到tan∠BAC的值；
（2）根據垂徑定理得到，再利用圓周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，即∠OAD=90°，根據切線的判定方法得AD為⊙O的切線。