Question

【題目】閱讀理解：若在一個兩位正整數N的個位數字與十位數字之間添上數字6，組成一個新的三位數，我們稱這個三位數為N的“至善數”，如34的“至善數為364”；若將一個兩位正整數M加6后得到一個新數，我們稱這個新數為M的“明德數”，如34的“明德數為40”．

（1）30的“至善數”是　 　，“明德數”是　 　．

（2）求證：對任意一個兩位正整數A，其“至善數”與“明德數”之差能被9整除；

（3）若一個兩位正整數B的明德數的各位數字之和是B的至善數各位數字之和的一半，求B的最大值．

Answer 1

【答案】（1）360；36；（2）答案見解析；（3）84.

【解析】

（1）根據“至善數”和“明德數”的定義計算即可得答案；（2）設A的十位數字為a，個位數字為b，分別寫出A的“至善數”和“明德數”，求差，化簡，表示出9的倍數，即可證明；（3）設B的十位數字為a，個位數字為b，分別寫出B的“至善數”和“明德數”的各個數位上的數字之和，“明德數”的個位可能存在進位，故分兩類計算即可.

解：（1）在3和0之間添上數字6,

∴30的“至善數是360；“明德數“是30+6=36

故答案為：360；36．

（2）證明：設A的十位數字為a，個位數字為b

則其“至善數與“明德數“分別為：

100a+60+b；10a+b+6

它們的差為：

100a+60+b-（10a+b+6）

=90a+54

=9（10a+6）

∴其“至善數與“明德數“之差能被9整除．

（3）設B的十位數字為a，個位數字為b

則B的至善數的各位數字之和是a+6+b

B的明德數各位數字之和是a+b+6（當0≤b＜4時）或a+1+（6+b-10）（當4≤b≤9時）

由題意得：0≤b＜4時，a+b+6=（a+6+b）

∴a+b=-6，不符合題意；

當4≤b≤9時，a+1+（6+b-10）=（a+6+b）

∴a+b=12

∴當b=4，a=8時，B最大，最大值為84．