Question

我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦．并發現了“勾股定理”．若直角三角形三邊長都為正整數，則稱為一組勾股數，如“勾3股4弦5”．勾股數的尋找與判斷不是件很容易的事，不過還是有一些規律可循的．（以下n為正整數，且n≥2）
（1）觀察：3、4、5；　 5、12、13；　7、24、25；…，
小明發現這幾組勾股數的勾都是奇數，從3起就沒有間斷過，且股和弦只相差1．小明根據發現的規律，推算出這一類的勾股數可以表示為：2n-1、2n（n-1）、2n（n-1）+1．請問：小明的這個結論正確嗎？
答______．（直接回答正確或錯誤，不必證明）
（2）繼續觀察第一個數為偶數的情況：4、3、5；　 6、8、10；　 8、15、17；…，
親愛的同學們，你能像小明一樣發現每組勾股數中的其他兩邊長都有何規律嗎？若用2n表示第一個偶數，請分別用n的代數式來表示其他兩邊，并證明確實是勾股數．

Answer 1

解：（1）結論正確；

（2）∵這些數為：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，
若用2n表示第一個偶數，那么其它兩個數為n²-1，c=n²+1
∴（2n）²+（n²-1）²=n⁴+2n²+1=（n²+1 ）²，
∴2n、n²-1、n²+1是一組勾股數．
故答案為：正確．
分析：（1）小明的這個結論正確嗎．可以利用勾股定理的逆定理證明；
（2）由于這些數為：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n表示第一個偶數，那么其它兩個數為n²-1，c=n²+1，然后利用勾股定理的逆定理即可解決問題．
點評：本題考查了勾股數的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足a²+b²=c²，則△ABC是直角三角形．