Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A（-1，0），B（3，0），交y軸的負(fù)半軸于C，頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論：①2a+b=0；②2c＜3b；③當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＜am2+bm；④當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)，則a=；其中正確的有（　　）個(gè)．

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x==1，可得2a與b的關(guān)系；將A、B兩點(diǎn)代入可得c、b的關(guān)系；函數(shù)開口向下，x=1時(shí)取得最小值，則m≠1，可判斷③；根據(jù)圖象AD=BD，頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷④．

解：①∵二次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）．

∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x==1，即=1，

∴2a+b=0．

故①正確；

②∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）．

∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．

又∵b=-2a．

∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0．

∴3b=-6a，2c=-6a．

∴2c=3b．

故②錯(cuò)誤；

③∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸是x=1．

∴x=1時(shí)，二次函數(shù)有最小值．

∴m≠1時(shí)，a+b+c＜am2+bm+c．

即a+b＜am2+bm．

故③正確；

④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．

∴AD2+BD2=42．

解得，AD2=8．

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，y）．

則[1-（-1）]2+y2=AD2．

解得y=±2．

∵點(diǎn)D在x軸下方．

∴點(diǎn)D為（1，-2）．

∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)D為（1，-2），過點(diǎn)A（-1，0）．

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）2-2．

∴0=a（-1-1）2-2．

解得a=．

故④正確；

故選：B．