Question

（2010•淄博）已知直角坐標系中有一點A（-4，3），點B在x軸上，△AOB是等腰三角形．
（1）求滿足條件的所有點B的坐標；
（2）求過O，A，B三點且開口向下的拋物線的函數表達式（只需求出滿足條件的一條即可）；
（3）在（2）中求出的拋物線上存在點P，使得以O，A，B，P四點為頂點的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點P的坐標及相應梯形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A的坐標，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，應分三種情況考慮：
①OA=OB=5，由于點B的位置不確定，因此要分B在x軸正、負半軸兩種情況求解，已知了OB的長，即可得到點B的坐標；
②OA=AB=5，此時點B只能在x軸負半軸上，那么點B的橫坐標應為點A橫坐標的2倍，可據此求得點B的坐標；
③AB=OB=5，此時點B只能在x軸負半軸上，可在x軸上截取AD=OA，通過構建相似三角形：△OBA∽△OAD，通過所得比例線段來求出OB的長，從而得到點B的坐標．
（2）任選一個（1）題所得的B點坐標，利用待定系數法求解即可．
（3）解此題時，雖然不同的拋物線有不同的解，但解法一致；分兩種情況：
①OA∥BP時，可分別過A、P作x軸的垂線，設垂足為C、E，易證得△AOC∽△PBE，根據所得比例線段，即可求得點P的坐標．而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出．
②OP∥AB時，方法同上，過P作PF⊥x軸于F，然后通過相似三角形：△ABC∽△POF，來求出P點坐標，梯形面積求法同上．（當OA=AB時，兩種情況的點P正好關于拋物線對稱軸對稱，可據此直接求出P點坐標，避免重復計算．）
解答：解：作AC⊥x軸，由已知得OC=4，AC=3，OA==5．
（1）當OA=OB=5時，
如果點B在x軸的負半軸上，如圖（1），點B的坐標為（-5，0）；
如果點B在x軸的正半軸上，如圖（2），點B的坐標為（5，0）；

當OA=AB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（3），BC=OC，則OB=8，點B的坐標為（-8，0）；
當AB=OB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（4），在x軸上取點D，使AD=OA，可知OD=8．
由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，
則，
解得OB=，
點B的坐標為（-，0）．


（2）當AB=OA時，拋物線過O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三點，
設拋物線的函數表達式為y=ax²+bx，
可得方程組，
解得a=，，
∴；
當OA=OB時，同理得．

（3）當OA=AB時，若BP∥OA，如圖（5），作PE⊥x軸，
則∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，
△AOC∽△PBE，．
設BE=4m，PE=3m，則點P的坐標為（4m-8，-3m），
代入，
解得m=3；
則點P的坐標為（4，-9），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=48．
若OP∥AB，根據拋物線的對稱性可得點P的坐標為（-12，-9），
S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=48．


當OA=OB時，若BP∥OA，如圖（6），作PF⊥x軸，
則∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，
△AOC∽△PBF，；
設BF=4m，PF=3m，則點P的坐標為（4m-5，-3m），
代入，
解得m=．則點P的坐標為（1，-），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=．
若OP∥AB（圖略），作PF⊥x軸，
則∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，
△ABC∽△POF，；
設點P的坐標為（-n，-3n），
代入，
解得n=9．
則點P的坐標為（-9，-27），S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=75．
點評：此題考查了等腰三角形的判定、二次函數解析式的確定、梯形的判定、圖形面積的求法等知識．同時還考查了分類討論的數學思想，一定要考慮全面，避免漏解．