Question

（2013•麗水）如圖1，點A是x軸正半軸上的動點，點B坐標為（0，4），M是線段AB的中點，將點M繞點A順時針方向旋轉90°得到點C，過點C作x軸的垂線，垂足為F，過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E，點D是點A關于直線CF的對稱點，連結AC，BC，CD，設點A的橫坐標為t．
（1）當t=2時，求CF的長；
（2）①當t為何值時，點C落在線段BD上；
     ②設△BCE的面積為S，求S與t之間的函數關系式；
（3）如圖2，當點C與點E重合時，將△CDF沿x軸左右平移得到△C′D′F′，再將A，B，C′，D′為頂點的四邊形沿C′F′剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的點C′的坐標．

Answer 1

分析：（1）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=

1

2

OA=

1

2

t，由此求出CF的值；
（2）①由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的長度；若點C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據相似比例式列方程求出t的值；
②有兩種情況，需要分類討論：當0＜t≤8時，如題圖1所示；當t＞8時，如答圖1所示．
（3）本問涉及圖形的剪拼．在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種，需要分類討論，分別如答圖2-4所示．

解答：解：（1）由題意，易證Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

CF

OA

=

AC

AB

．
∵AB=2AM=2AC，
∴CF=

1

2

OA=

1

2

t．
當t=2時，CF=1．

（2）①由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

AF

OB

=

AC

AB

=

1

2

，
∴AF=

1

2

OB=2，∴FD=AF=2，．
∵點C落在線段BD上，∴△DCF∽△DBO，
∴

CF

OB

=

DF

OD

，即

1 2 t

4

=

2

t+4

，
解得t=2

5

-2或t=-2

5

-2（小于0，舍去）
∴當t=2

5

-2時，點C落在線段BD上；
②當0＜t≤8時，如題圖1所示：
S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4；
當t＞8時，如答圖1所示：

S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（

1

2

t-4）=

1

4

t²-

3

2

t-4．

（3）符合條件的點C的坐標為：（12，4），（8，4）或（2，4）．
理由如下：
在△CDF沿x軸左右平移的過程中，符合條件的剪拼方法有三種：
方法一：如答圖2所示，當F′C′=AF′時，點F′的坐標為（12，0），

根據△C′D′F′≌△AHF′，△BC′H為拼成的三角形，此時C′的坐標為（12，4）；
方法二：如答圖3所示，當點F′與點A重合時，點F′的坐標為（8，0），

根據△OC′A≌△BAC′，可知△OC′D′為拼成的三角形，此時C′的坐標為（8，4）；
方法三：當BC′=F′D′時，點F′的坐標為（2，0），

根據△BC′H≌△D′F′H，可知△AF′C′為拼成的三角形，此時C′的坐標為（2，4）．

點評：本題考查了坐標平面內幾何圖形的多種性質，是一道難度較大的中考壓軸題．涉及到的知識點包括相似三角形、全等三角形、點的坐標、幾何變換（旋轉、平移、對稱）、圖形的剪拼、解方程等，非常全面；分類討論的思想貫穿第（2）②問和第（3）問，第（3）問還考查了幾何圖形的空間想象能力．本題涉及考點眾多，內涵豐富，對考生的數學綜合能力要求較高．