Question

【題目】如圖，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，連接BE、AD，P為BD中點，M為AB中點、N為DE中點，連接PM、PN、MN.

（1）試判斷△PMN的形狀，并證明你的結論；

（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周長.

Answer 1

【答案】（1）△PMN為等腰直角三角形. 見詳解 （2）13＋.

【解析】

（1） 由等腰Rt△ABC和△CDE證得△BCE≌△ACD，由M，N，P分別為AB，DE，BD的中點，得PN∥BE，PN＝BE，PM∥AD，PM＝AD，證得△PMN為等腰三角形，再由∠BPM＝∠BDA且∠BDA＋∠DAC＝90°，所以∠BPM＋∠EBP＝90°，所以∠BFP＝90°，再根據平行的性質即可求解.

（2） 因為Rt△ACD，所以根據勾股定理求得AD，再因為PM＝AD，求得PM＝PN＝，再根據求得的△PMN為等腰直角三角形，勾股定理求得MN，最后相加即可求解.

（1）△PMN為等腰直角三角形.

證明：在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ECD中，AC＝BC，CD＝CE，易得△BCE≌△ACD.

∴BE＝AD，∠CBE＝∠DAC.

又∵M，N，P分別為AB，DE，BD的中點，

∴PN∥BE，PN＝BE，PM∥AD，PM＝AD.

又∵BE＝AD，

∴PM＝PN.

又∵PM∥AD，

∴∠BPM＝∠BDA且∠BDA＋∠DAC＝90°，

∴∠BPM＋∠EBP＝90°，

∴∠BFP＝90°.

又∵BE∥PN，

∴∠FPN＝90°.

∴△PMN為等腰直角三角形.

（2）在Rt△ACD中，CD＝5，AC＝12，由勾股定理得

AD＝13，

∴PM＝PN＝，MN＝，

∴C△PMN＝＋＋＝13＋.