Question

【題目】已知拋物線y=kx2+（k﹣2）x﹣2（其中k＞0）．

（1）求該拋物線與x軸的交點及頂點的坐標（可以用含k的代數式表示）；

（2）若記該拋物線頂點的坐標為P（m，n），直接寫出|n|的最小值；

（3）將該拋物線先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度，隨著k的變化，平移后的拋物線的頂點都在某個新函數的圖象上，求新函數的解析式（不要求寫自變量的取值范圍）．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的頂點坐標是（，﹣）；（2）當k=2時，|n|的最小值是2；（3）新函數的解析式為y=﹣﹣1．

【解析】試題分析：（1）令y=0，解方程kx2+（k﹣2）x﹣2=0即可得到拋物線與x軸的交點，根據拋物線的頂點坐標公式（﹣）代入進行計算即可求解；

（2）根據（1）的結果，然后利用絕對值的性質，再根據不等式的性質進行解答；

（3）根據左加右減，上加下減，寫出平移后的拋物線頂點坐標，然后消掉字母k即可得解．

試題解析：解：（1）當y=0時，kx2+（k﹣2）x﹣2=0，即（kx﹣2）（x+1）=0，解得：x1=，x2=﹣1，∴拋物線與x軸的交點坐標是（，0）與（﹣1，0），﹣=﹣=﹣==﹣，∴拋物線的頂點坐標是（﹣，﹣）；

（2）根據（1），|n|=|﹣|===++1≥2+1=1+1=2，當且僅當=，即k=2時取等號，∴當k=2時，|n|的最小值是2；

（3）﹣+=，﹣+===﹣k﹣1，設平移后的拋物線的頂點坐標為（x，y），則，消掉字母k得：y=﹣﹣1，∴新函數的解析式為y=﹣﹣1．