Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，點D在AC上（CD＜AC），連接BD．操作：以A為圓心，AD長為半徑畫弧，交BD于點E，連接AE．

（1）請補全圖形，探究∠BAE、∠CBD之間的數量關系，并證明你的結論；

（2）把BD繞點D順時針旋轉60°，交AE于點F，若EF＝mAF，求的值（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）圖形見解析，∠BAE＝2∠CBD，理由見解析；（2），理由見解析

【解析】

（1）根據圓周角和圓心角的關系得：2∠BDH=∠BAE，由等腰三角形的性質得HD∥BC，由平行線的性質可得結論；
（2）如圖2，作輔助線，由旋轉得：△BDM是等邊三角形，證明△AMB≌△CDB（SAS），得AM=CD，∠MAB=∠C=60°，證明△ABD∽△DFE，設AF=a，列比例式可得結論

（1）如圖1，∠BAE＝2∠CBD．

設弧DE與AB交于H，連接DH，

∴2∠BDH＝∠BAE，

又∵AD＝AH，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，

∴∠AHD＝∠ABC，

∴HD∥BC，

∴∠DBC＝∠HDB，

∴∠BAE＝2∠DBC；

（2）如圖2，連接AM，BM，

由旋轉得：BD＝DM，∠BDM＝60°，

∴△BDM是等邊三角形，

∴BM＝BD，∠MBD＝60°，

∵∠ABM+∠ABD＝∠ABD+∠CBD，

∴∠ABM＝∠CBD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，

∴△AMB≌△CDB（SAS），

∴AM＝CD，∠MAB＝∠C＝60°，

∵∠AGM＝∠BGD，∠MAB＝∠BDM＝60°，

∴∠AMD＝∠ABD，

由（1）知：AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE，

∵∠EDF＝∠BAD，

∴△ABD∽△DFE，

∴∠EFD＝∠ABD＝∠AFM＝∠AMD，

∴AF＝AM＝CD，

設AF＝a，則EF＝ma，AE＝a+ma＝（m+1）a，

∴AB＝AD+CD＝AE+CD＝（m+2）a，

由△ABD∽△DFE，

∴＝＝．