Question

在△ABC中，AD是△ABC的角平分線．

（1）如圖1，過(guò)C作CE∥AD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若F為CE的中點(diǎn)，連結(jié)AF，求證：AF⊥AD；
（2）如圖2，M為BC的中點(diǎn)，過(guò)M作MN∥AD交AC于點(diǎn)N，若AB=4， AC=7，
求NC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）

∵AD為△ABC的角平分線，∴，∵CE∥AD，∴，，∴，∴AC=AE，∵F為EC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC，∴，∴AF⊥AD。
（2）

CN＝5.5

試題分析：（1）由與CE∥AD，可以通過(guò)兩直線平行性質(zhì)推出內(nèi)錯(cuò)角和同位角相等，等量代換得出，又等腰三角形底邊的中線與底邊上的高是同一條線，所以得出AF⊥BC，由此AF⊥AD。
（2）延長(zhǎng)BA與MN延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)B作BF∥AC交NM延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴，，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BFM和△CNM中，，，，∴△BFM≌△CNM，∴BF＝CN，∵M(jìn)N∥AD，∴，，∴，∴，，設(shè)，則，，，∴4＋7－x＝x，解得 x＝5.5，∴CN＝5.5
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是學(xué)生對(duì)兩平行線與過(guò)這兩條線的直線相交的性質(zhì)；等腰三角形的三線合一很重要，通過(guò)求出其中任意一個(gè)數(shù)據(jù)，即可知道其他兩個(gè)的數(shù)據(jù)；第二問(wèn)關(guān)鍵在于做輔助線，輔助線在幾何題中也是十分常用的一種方法。