Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點，連接EF，FM，MN，NE．

（1）依題意，補全圖形；
（2）求證：四邊形EFMN是矩形；
（3）連接DM，若DM⊥AC于點M，ON=3，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵點E，F分別為OA，OB的中點，

∴EF∥AB，EF= AB，

同理：NM∥CD，MN= DC，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AB=DC，AC=BD，

∴EF∥NM，EF=MN，

∴四邊形EFMN是平行四邊形，

∵點E，F，M，N分別為OA，OB，OC，OD的中點，

∴EO= AO，MO= CO，

在矩形ABCD中，AO=CO= AC，BO=DO= BD，

∴EM=EO+MO= AC，

同理可證FN= BD，

∴EM=FN，

∴四邊形EFMN是矩形

（3）解：∵DM⊥AC于點M，

由（2）MO= CO，

∴DO=CD，

在矩形ABCD中，

AO=CO= AC，BO=DO= BD，AC=BD，

∴AO=BO=CO=DO，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∵MN∥DC，

∴∠FNM=∠ODC=60°，

在矩形EFMN中，∠FMN=90°．

∴∠NFM=90°﹣∠FNM=30°，

∵NO=3，

∴FN=2NO=6，FM=3 ，MN=3，

∵點F，M分別為OB，OC的中點，

∴BC=2FM=6 ，

∴矩形的面積為BCCD=36

【解析】（1）根據題目要求畫出圖形即可；（2）根據三角形中位線定理可得EF∥AB，EF= AB，NM∥CD，MN= DC，再由矩形的性質可得AB∥DC，AB=DC，AC=BD，進而可得四邊形EFMN是矩形；（3）根據條件可得DM垂直平分OC，進而可得DO=CO，然后證明△COD是等邊三角形，進而得出BC，CD的長，進而得出答案．