Question

（2007•金華）如圖1，在平面直角坐標系中，已知點A（0，4），點B在x正半軸上，且∠ABO=30度．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在x軸上取兩點M，N作等邊△PMN．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示），并求出當等邊△PMN的頂點M運動到與原點O重合時t的值；
（3）如果取OB的中點D，以OD為邊在Rt△AOB內部作如圖2所示的矩形ODCE，點C在線段AB上．設等邊△PMN和矩形ODCE重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先在直角三角形AOB中，根據∠ABO的度數和OA的長，求出OB的長，即可得出B點的坐標，然后用待定系數法即可求出直線AB的解析式．
（2）求等邊三角形的邊長就是求出PM的長，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的長，然后根據∠ABO的度數，求出PM的長．
當M、O重合時，可在直角三角形AOP中，根據OA的長求出AP的長，然后根據P點的速度即可求出t的值．
（3）本題要分情況進行討論：
①當N在D點左側且E在PM右側或在PM上時，即當0≤t≤1時，重合部分是直角梯形EGNO．
②當N在D點左側且E在PM左側時，即當1＜t＜2時，此時重復部分為五邊形，（如圖3）其面積可用△PMN的面積-△PIG的面積-△OMF的面積來求得．（也可用梯形ONGE的面積-三角形FEI的面積來求）．
③當N、D重合時，即t=2時，此時M、O也重合，此時重合部分為等腰梯形．
根據上述三種情況，可以得出三種不同的關于重合部分面積與t的函數關系式，進而可根據函數的性質和各自的自變量的取值范圍求出對應的S的最大值．
解答：解：（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），設直線AB解析式為y=kx+b，
把A和B坐標代入得：，
解得：，
則直線AB的解析式為：y=-x+4．

（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8，
∵AP=t，
∴BP=AB-AP=8t，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=，
∴PM=（8-t）×=8-t．
如圖1，過P分別作PQ⊥y軸于Q，PS⊥x軸于S，
可求得AQ=AP=t，PS=QO=4-t，
∴PM=（4-）÷=8-t，
當點M與點O重合時，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4=2t，
∴t=2．

（3）①當0≤t≤1時，見圖2．
設PN交EC于點G，重疊部分為直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．
∵S隨t的增大而增大，
∴當t=1時，Smax=8．
②當1＜t＜2時，見圖3．
設PM交EC于點I，交EO于點F，PN交EC于點G，重疊部分為五邊形OFIGN．
作GH⊥OB于H，
∵FO=4-2t，
∴EF=2-（4-2t）=2t-2，
∴EI=2t-2．
∴S=S_梯形ONGE-S_△FEI=2t+6-（2t-2）（2t-2）=-2t²+6t+4
由題意可得MO=4-2t，OF=（4-2t）×，PC=4-t，PI=4-t，
再計算S_△FMO=（4-2t）²×
S_△PMN=（8-t）²，S_△PIG=（4-t）²，
∴S=S_△PMN-S_△PIG-S_△FMO=（8-t）²-（4-t）²-（4-2t）²×
=-2t²+6t+4
∵-2＜0，
∴當時，S有最大值，Smax=．
③當t=2時，MP=MN=6，即N與D重合，
設PM交EC于點I，PD交EC于點G，重疊部
分為等腰梯形IMNG，見圖4．S=×6²-×2²=8，
綜上所述：當0≤t≤1時，S=2t+6；
當1＜t＜2時，S=-2t²+6t+4；
當t=2時，S=8．

∵，
∴S的最大值是．
點評：本題考查一次函數解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數的綜合應用等知識，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．