Question

如圖，直徑為5的⊙M圓心在x軸正半軸上，⊙M和x軸交于A、B兩點，和y軸交于C、D兩點且CD=4，拋物線y=ax²+bx+c經過A、B、C三點，頂點為N﹒
（1）求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）直線NC與x軸交于點E，試判斷直線CN與⊙M的位置關系并說明理由；
（3）設點Q是（1）中所求拋物線對稱軸上的一點，試問在（1）中所求拋物線上是否存在點P使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由﹒

Answer 1

分析：（1）若要求經過A、B、C三點的拋物線解析式，則可求出A、B、C三點的坐標即可；
（2）連接MC，再證明CM⊥EN即可；
（3）存在，根據AB為平行四邊形的邊，對角線兩種情況，分別P點坐標．

解答：解：（1）連接DM，∵⊙M的直徑5，
∴DM=

5

2

，
∵CD=4，
∴OD=0C=2，
∴C點的坐標為（0，-2），
∴OM=

5 2  2-2 2

=

3

2

，
∴OA=

5

2

-

3

2

=1，
∴OB=5-OA=4，
∴點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（4，0）
由A、B兩點坐標，設拋物線y=a（x+1）（x-4），將C（0，-2）代入，得a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x+1）（x-4），
∴經過A、B、C三點的拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）直線CN與⊙M相切；
連接CM，設過CN直線的解析式為y=kx+b，
設拋物線的頂點為N，則N點的坐標為（

3

2

，-

25

8

），
∴CN直線的解析式為y=-

3

4

x-2，
∴點E的坐標為（-

8

3

，0），
∴CE=

OC 2+OE 2

=

10

3

，
∴EM=OE+OM=

25

6

，
∵CM²=

25

4

，CE²=

100

9

，EM²=

625

36

，
∴CM²+CE²=EM²，
∴△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，
∴直線CN與⊙M相切；

（3）存在符合條件的點P，
當AB為平行四邊形的一邊時，PQ∥AB，PQ=AB=5，P點橫坐標為

3

2

+5=

13

2

或

3

2

-5=-

7

2

，
分別代入拋物線解析式，得y=

39

8

，
當AB為平行四邊形的對角線時，P為拋物線頂點，
∴P點的坐標是（

3

2

，-

25

8

），（-

7

2

，

75

8

），（

13

2

，

75

8

）．

點評：此題考查待定系數法求函數解析式，二次函數的對稱性，以及平行四邊和圓的切線的有關知識的運用，是一道綜合性很強的題目，難度較大．