Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底邊AB上有一動點E，滿足∠DEQ=120°，EQ交射線DC于點F．

(1)求下底DC的長度；
(2)當點E是AB的中點時，求線段DF的長度；
(3)請計算射線EF經過點C時，AE的長度．

Answer 1

（1）DC=7 （2）DF＝6  (3) AE=2或5

試題分析：解：（1）作點B到DC的垂線，交DC于G
在梯形ABCD中，因為∠A=90°
所以DG=AB=6
因為∠B=120°，所以∠C=60°
又因為AD=BF=
所以CG=1
所以DC="DG+GC=6+1=7"
（2）解：如圖1，過E點作EG⊥DF，
∵E是AB的中點，
∴DG＝3，
∴EG＝AD＝，
∴∠DEG＝60°，
∵∠DEF＝120°，
∴tan60°＝，   
解得GF＝3，
∴DF＝6；

(3)如圖2所示：
過點B作BH⊥DC，，過點C作CM⊥AB交AB延長線于點M，則BH＝AD＝，
∵∠ABC＝120°，AB∥CD，
∴∠BCH＝60°，
∴CH＝＝＝1，BC＝＝＝2，
設AE＝x，則BE＝6－x，
在R t △ADE中，DE＝＝＝，
在R t △EFM中，EF＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠B＝120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得x＝2或5．
∴AE=2或5．
點評：該題主要考查學生對勾股定理和直角梯形性質的理解和應用，以及對特殊角、特殊三角形性質的運用。