Question

如圖，平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，且OA-AB.

  (1)如圖，在圖中畫出△AOB關于BO的軸對稱圖形△A₁OB，若A(-3，1)，請求出A₁點的坐標：

  (2)當△AOB繞著原點O旋轉到如圖所示的位置時，AB與y軸交于點E，且AE=BE．AF⊥y軸交BO于F，連結EF，作AG//EF交y軸于G．試判斷△AGE的形狀，并說明理由；

} (3)當△AOB繞著原點O旋轉到如圖所示的位置時，若A(，3)，c為x軸上一點，且OC=OA，∠BOC=15°，P為y軸上一點，過P做PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，當P在y軸正半軸上運動時，試探索下列結論：①PO+PN-PM不變，②PO+PM+PN不變．其中哪一個結論是正確的？請說明理由并求出其值．

Answer 1

 (1)解:如圖所示：△A₁OB為所畫的軸對稱圖形                            

過A做AC⊥x軸于C，A₁D⊥x軸于D

     ∵A（-3,1）

     ∴AC=1，OC=3

     ∵OA＝AB,∠BAO=90°

     ∴∠BOA=45°

     ∴∠BOA₁=45°

     ∴∠AOA₁=90°

∴∠AOC+∠A₁OD=90°

又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°

∴∠CAO=∠A₁OD

又∵∠ACO=∠ODA₁=90°

    AO=A₁O

∴△ACO≌△ODA₁                                                                                                

∴AC=OD=1,OC=A₁D=3

∴A_1,（1,3）                                                     

（2）△AEG為等腰三角形                                          

證明：過B做BH⊥AB于B交AF的延長線于H

∵∠OAE =∠ABH =90°

  ∠AOE=∠BAH=90°－∠OAH

  OA=AB

∴△AEO≌△BHA                                                 

∴AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA

又∵∠EBF=∠HBF=45°

     BF=BF

∴△BEF≌△BHF（SAS)

∴∠BHF=∠BEF                                                 

∵AG∥EF

∴∠EAG=∠BEF

∴∠EAG=∠AEG

∴AG=EG

即△AEG為等腰三角形                                            

（3）PO+PN-PM=3不變

解：過A做AL⊥x軸于L，連結AP、PC                                 

∵A（,3）

∴AL=3                                                                                                                     

∵∠AOC=45°+15°=60°

OC=OA

∴△AOC為等邊三角形

∴AO=CO=AC                                                       

∵

又∵

∴

∴PO+PN-PM=AL=3