Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩根分別為x1、x2 ， 求x +x 的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）=1＞0，

∴方程總有兩個不相等的實數根

（2）解：∵方程的兩根分別為x1、x2，

∴x1+x2=2m+1，x1x2=m（m+1），

∴ + = ﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2m（m+1）=2m2+2m+1=2 + ，

∴ + 的最小值為

【解析】（1）根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=1＞0，由此即可證出方程總有兩個不相等的實數根；（2）根據根與系數的關系可得x1+x2=2m+1、x1x2=m（m+1），利用配方法可將 + 變形為 ﹣2x1x2 ， 代入數據即可得出 + =2 + ，進而即可得出 + 的最小值．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和根與系數的關系的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商才能正確解答此題．