Question

31、先閱讀下列材料，然后完成下列填空：
點A、B在數軸上分別表示實數 a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設A點在原點，如圖1|AB|=|OB|=|b|=|b-0|=|a-b|；
當A、B兩點都不在原點時，
①如圖2，A、B兩點都在原點的右邊，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|
②如圖3，A、B兩點都在原點的左邊，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|
③如圖4，A、B兩點分別在原點的兩邊，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（-b）=|a-b|
綜上所述，
（1）上述材料用到的數學思想方法是

數形結合、分類討論

（至少寫出2個）
（2）數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|．回答下列問題：
數軸上表示2和5的兩點之間的距離是

3

；數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是

3

；數軸上表示1和-4的兩點之間的距離是

5

；
（3）數軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是

|x+1|

；如果|AB|=2，那么x為

1或-3

．

Answer 1

分析：（1）從材料所提供的解題過程來總結所用的數學思想方法；
（2）直接根據數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|．代入數值運用絕對值即可求任意兩點間的距離．
（3）根據絕對值的性質，可得到一個一元一次不等式組，通過求解，就可得出x的取值范圍．

解答：解：（1）根據“如圖2、如圖3、如圖4”可知，該材料用到了“數形結合”是數學思想和“分類討論”的數學思想；

（2）數軸上表示2和5的兩點之間的距離是|2-5|=3，數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是|-2-（-5）|=3．數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是|1-（-4）|=5．

（3）數軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x為1或-3．
故答案是：（1）數形結合、分類討論；（2）3、3、5；（3）|x+1|、1或-3．

點評：此題綜合考查了數軸、絕對值的有關內容，用幾何方法借助數軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現了數形結合的優點．