Question

小亮家窗戶上的遮雨罩是一種玻璃鋼制品，它的頂部是圓柱側面的一部分（如圖1），它的側面邊緣上有兩條圓弧（如圖2），其中頂部圓弧AB的圓心O₁在豎直邊緣AD上，另一條圓弧BC的圓心O₂在水平邊緣DC的延長線上，其圓心角為90°，請你根據所標示的尺寸（單位：cm）解決下面的問題．（玻璃鋼材料的厚度忽略不計，π取3.1416）
（1）計算出弧AB所對的圓心角的度數（精確到0.01度）及弧AB的長度；（精確到0.1cm）
（2）計算出遮雨罩一個側面的面積；（精確到1cm²）
（3）制做這個遮雨罩大約需要多少平方米的玻璃鋼材料．（精確到0.1平方米）

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關鍵是求出弧AB所在圓的半徑．連接BO₁，∠BO₁E就是所求的弧AB所對的圓心角，在直角三角形BO₁E中，已知了BE的長，我們可用直徑表示出O₁E和O₁B，根據勾股定理求出半徑的長，有了半徑的長，就能用正弦函數求出∠BO₁E的度數，也可根據弧長的公式求出弧AB的長；
（2）我們觀察圖可發現，遮雨罩的側面的面積應該是扇形O₁AB的面積+梯形O₁BO₂D的面積-扇形O₂BC的面積，已知了弧AB，BC所對的圓心角，已知了弧AB，BC所在圓的半徑，那么就能根據扇形的面積公式求出這兩個扇形的面積，梯形O₁BO₂D中，（1）中已經得出O₁A的值，那么就能求出O₁D的長，它的另一個底邊是半徑O₂B，高是O₂D，所有的條件就都有了，那么就能求出側面的面積了．
（3）遮雨罩的表面積=2個側面的面積+頂部的面積，側面的面積（2）中已經求出，頂部的面積實際是個矩形的面積，這個矩形的長是180m，寬是（1）中得出的弧AB的長，那么就能求出遮雨罩的表面積了，也就求出需要多少材料了．
解答：解：（1）易知BE=60，AE=50，連接O₁B，設弧AB的半徑為R．
在Rt△O₁BE中，由勾股定理得：R²=60²+（R-50）²．
解得：R=61．
∵sin∠BO₁E=，
∴∠BO₁E≈79.61度．
∴弧AB的長×π×61≈84.8；

（2）扇形O₁AB的面積=×84.8×61≈2586.4（cm²）；
扇形O₂BC的面積=×π×40²=400π≈1256.6（cm²）；
梯形O₁BO₂D的面積=×（29+40）×60=2070（cm²）；
∴遮雨罩一個側面的面積=扇形O₁AB的面積+梯形O₁BO₂D的面積-扇形O₂BC的面積
=2586.4+2070-1256.6≈3400（cm²）；

（3）遮雨罩頂部的面積=84.8×180=15264（cm²）．
∴遮雨罩的總面積=3400×2+15264=22064（cm²）≈2.2（m²）．
制做這個遮雨罩大約需要2.2平方米玻璃鋼材料．
點評：本題主要考查了扇形的面積公式，弧長的計算公式，以及解直角三角形等知識點的綜合應用，求不規則的圖形的面積，可以轉化為幾個規則圖形的面積的和或差來求．