Question

已知：如圖，△ABC內接于⊙O，G是

BC

的中點，連接AG交BC于D，過D的直線交AB于E，交AC的延長線于F；
求證：AB•AC-BD•DC=AE•AF-ED•DF．

Answer 1

分析：在本題中，易證△ABG∽△ADC，從而得出

AB

AG

=

AD

AC

，即AB•AC=AG•AD，再者根據相交弦定理可知BD•CD=AD•DG，從而利用線段之間的和差關系得出結論．

解答：證明：連接BG，
∵∠BAG=∠GAF，∠G=∠ACB，
∴△ABG∽△ADC．
∴AB：AG=AD：AC．
∴AB•AC=AG•AD．
∵BD•CD=AD•DG，
∴AB•AC-BD•CD=AG•AD-AD•DG．
∴AB•AC-BD•CD=AD•（AG-DG）．
∵AG-DG=AD，
∴AB•AC-BD•CD=AD²．
同理：AE•AF-ED•DF=AD²．
∴AB•AC-BD•CD=AE•AF-ED•DF．

點評：此題是相似三角形的一個變形，主要考查對應邊成比例，把比例式變為等積式．