Question

（2008•黃岡）已知：如圖，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的；
（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
（4）試探究：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，能否在線段OA上找到一點(diǎn)Q，使四邊形CQPD為矩形？并求出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法來(lái)求出直線BC的解析式；
（2）可先計(jì)算出梯形面積的，也就求出了四邊形COPD的面積．有OC的長(zhǎng)，D是BC的中點(diǎn)，如果過(guò)D作梯形的中位線，可求出三角形OCD中，OC邊上的高應(yīng)該是4，由此可求出三角形OCD的面積，也就能表示出OPD的面積，然后再用OP的值表示出三角形OPD的面積，得出關(guān)于t的方程，即可求出此時(shí)t的值；
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在OA上時(shí)，即0＜t＜8時(shí)，如果過(guò)D作OA的垂線DE，垂直為E，那么DE就是梯形的中位線，即DE=7，要表示三角形OPD的面積，還需知道OP的長(zhǎng)，可以根據(jù)P點(diǎn)的速度，用時(shí)間t表示出OP，這樣可根據(jù)三角形的面積公式求出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式．

②當(dāng)P在AB上時(shí)，即8≤t＜18時(shí)，三角形OPD的面積可以用四邊形OAPD的面積-三角形OAP的面積來(lái)表示，而四邊形OAPD的面積可分成梯形DEAP和三角形OED兩部分來(lái)求，而OE，AE，DE，AB都是定值，因此可求出四邊形OAPD的面積，三角形OAP中，可用t表示出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而可用t表示出三角形OAP的面積，然后根據(jù)三角形OPD的面積S=四邊形OAPD的面積-三角形OAP的面積，即可得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
③當(dāng)P在BD上時(shí)，即18＜t＜23時(shí)，三角形OPD的面積可用三角形OCP的面積-三角形OCD的面積來(lái)求，三角形OPC中，可過(guò)P作OC的垂線PH，可根據(jù)AB∥OC，得出∠BCH的正弦值，然后用t表示出CP，那么在直角三角形OPH中可以求出OC邊上的高PH的表達(dá)式，那么就能表示出三角形OPC的面積，三角形OCD中，OC的值已知，而OC邊上的高就是OE，那么也可求出三角形OCD的面積，然后可根據(jù)三角形OPD的面積=三角形OPC的面積-三角形OCD的面積來(lái)求出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，那么四邊形CQPD是矩形，可得出CD=QP=BD=5，∠QPD=∠PDC=90°，要求此時(shí)t的值，首先就要求出AP的長(zhǎng)，根據(jù)∠QPD=∠BDP=∠QAP=90°，不難得出三角形AQP與三角形DPB相似，那么可得出關(guān)于BD，BP，AP，QP的比例關(guān)系，而B(niǎo)D，QP的長(zhǎng)已求出，AP+PB=AB=10，因此可求出此時(shí)AP，PB的長(zhǎng)，然后判定一下此時(shí)四邊形QPDC是矩形的結(jié)論是否成立，如果成立可根據(jù)AP的長(zhǎng)求出t的長(zhǎng)．
解答：解：（1）設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，
因?yàn)橹本�BC過(guò)B（8，10），C（0，4）兩點(diǎn)，可得：
，
解得k=，b=4，
因此BC所在直線的解析式是y=x+4；

（2）過(guò)D作DE⊥OA，
則DE為梯形OABC的中位線，OC=4，AB=10，
則DE=7，又OA=8，得S_梯形OABC=56，
則四邊形OPDC的面積為16，S_△COD=8，
∴S_△POD=8，
即•t×7=8，
得t=；

（3）分三種情況
①0＜t≤8，（P在OA上）
S_三角形OPD=t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S_三角形OPD=S_梯形OCBA-S_三角形OCD-S_三角形OAP-S_三角形PBD
=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t
（此時(shí)AP=t-8，BP=18-t）
③過(guò)D點(diǎn)作DM垂直y軸與M點(diǎn)
∴CM=3，DM=4，CD=5，
∴∠BCH的正弦值為
CP長(zhǎng)為28-t
∴PH=22.4-0.8t
S_三角形OPD=S_三角形OPC-S_三角形ODC
=×4（22.4-0.8t）-8
=-t；

（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，
則CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四邊形CQPD為矩形，則PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽R(shí)t△BDP，
設(shè)BP=x，則PA=10-x，
∴，
化簡(jiǎn)得x²-10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，這與△PBD是直角三角形不相符因此四邊形CQPD不可能是矩形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，矩形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要注意的是（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解．