Question

如圖所示，已知A點的坐標為（-1，0），點B的坐標是（9，0）以AB為直徑作⊙O′，交y軸負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C作拋物線
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上的一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連接BD求BD直線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△PCD的面積是△BCD面積的

1

3

，求此時點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據△OAC∽△OCB即可求得CO的長，即可確定C的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）連接O'D，求得D的坐標，再根據待定系數法即可求得直線的解析式；
（3）過點P作PH⊥x軸于H，交直線CD于M，求得直線CD的解析式，即可求得△BCD的面積，然后根據P的橫坐標的范圍，分情況進行討論，即可求得．

解答：解：（1）AB是⊙O'的直徑
∴AC⊥BC
又OC⊥AB
∴△OAC∽△OCB
∴

AO

CO

=

CO

BO

∴CO=

AO•BO

=3
∴C（0，-3）（1分）
設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
拋物線過A（-1，0）、B（9，0）和C（0，-3）
∴

a-b+c=0 81a+9b+c=0 c=-3

解得

a= 1 3 b=- 8 3 c=-3

（2分）
所求拋物線解析式為y=

1

3

x2-

8

3

x-3（3分）

（2）連接O'D，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD=

1

2

∠DO'B=45°
∴∠DO'B=90°
又DO′=

1

2

AB=5
∴D（4，-5）（1分）
設直線BD的解析式為y=kx+b，則

9k+b=0 4k+b=-5

解得

k=1 b=-9

（2分）
直線BD的解析式為y=x-9．（3分）

（3）設點P（x，

1

3

x2-

8

3

x-3）
過點P作PH⊥x軸于H，交直線CD于M，
易得直線CD的解析式為y=-

1

2

x-3，則M（x，-

1

2

x-3）
易知直線CD與拋物線交點為C（0，-3）和N（

13

2

，-

25

4

）
∵S_△BCD=S_{四邊形ACDB}-S_△ABC
=S_△AOC+S_梯形OCDO'+S_△BO′D-S_△ABC

1×3

2

+

3+5

2

×4+

5×5

2

-

10×3

2

=15（1分）
設△PCM與△PDM中，邊PM上的高分別為h₁和h₂，則
1當0＜x≤42時，如圖（1）S△PCD=S△CPM+S△DPM=

PM

2

(h1+h2)=

1

2

[(-

1

2

x-3)-(

1

3

x2-

8

3

x-3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1=

3

2

，x₂=5＞4（舍去）
∴P₁（

3

2

，-

25

4

）（2分）
3當4＜x＜

13

2

時，如圖（2）S△PCD=S△CPM-S△DPM=

PM

2

(h1-h2)=

1

2

[(-

1

2

x-3)-(

1

3

x2-

8

3

x-3)]×4=5
即2x²-13x+15=0
解得x1=

3

2

＜4（舍去），x₂=5
∴P₂（5，-8）（3分）
5當

13

2

＜x＜96時，如圖（3）S△PCD=S△CPM-S△DPM=

PM

2

(h1-h2)=

1

2

[(

1

3

x2-

8

3

x-3)-(-

1

2

x-3)]×4=5
即2x²-13x-15=0
解得x1=

15

2

，x₂=-1＜0（舍去）
∴P₃（

15

2

，-

17

4

）
所有求點P的坐標是P₁（

3

2

，-

25

4

）、P₂（5，-8）或P₃（

15

2

，-

17

4

）（4分）

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．