Question

【題目】如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN=α，∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C、D不重合）．

（1）如圖①，當α=90°時，求證：DE+DF=AD．
（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當α=60°時，（1）中的結論變為 ，請給出證明．
（3）在（2）的條件下，將∠QPN繞點P旋轉，若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數量關系，直接寫出結論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中

，

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD

（2）

如圖②，取AD的中點M，連接PM，

∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形，

∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，

∴△MDP是等邊三角形，

∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，

∵∠PAM=30°，

∴∠MPD=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF（ASA）

∴ME=DF，

∴DE+DF= AD

（3）

如圖，

如圖③，當點E落在AD的延長線上時，

取AD的中點M，連接PM，

∵四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，

∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，

∴∠ADP=∠CDP=60°，

∵AM=MD，

∴PM=MD，

∴△MDP是等邊三角形，

∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

，

∴△MPE≌△DPF（ASA）．

∴ME=DF，

∴DF﹣DE=ME﹣DE=DM= AD

【解析】（1）利用正方形的性質得出角與線段的關系，易證得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出結論DE+DF=AD，（2）取AD的中點M，連接PM，利用菱形的性質，可得出△MDP是等邊三角形，易證△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME= AD，即可得出DE+DF= AD，（3）①當點E落在AD上時，DE+DF= AD，②當點E落在AD的延長線上時，DF﹣DE= AD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．