Question

【題目】如圖，已知∠AOB以O為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于F、E兩點，再分別以E、F為圓心，大于 EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線OP，過點F作FD∥OB交OP于點D．

（1）若∠OFD=116°，求∠DOB的度數；
（2）若FM⊥OD，垂足為M，求證：△FMO≌△FMD．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OB∥FD，
∴∠0FD+∠A0B=18O°，
又∵∠0FD=116°，
∴∠A0B=180°﹣∠0FD=180°﹣116°=64°，
由作法知，0P是∠A0B的平分線，
∴∠D0B= ∠A0B=32°
（2）證明：∵0P平分∠A0B，
∴∠A0D=∠D0B，
∵0B∥FD，
∴∠D0B=∠ODF，
∴∠A0D=∠ODF，
又∵FM⊥0D，
∴∠OMF=∠DMF，
在△MFO和△MFD中 ，
∴△MFO≌△MFD（AAS）．
【解析】（1）由作圖的步驟可知是角平分線的作圖，利用角平分線的性質及平行線的性質，再利用等腰三角形的內角和定理，可求出∠DOB度數；（2）利用平行線的內錯角相等及角平分線條件，再利用已知，可根據“AAS”證出全等.