Question

已知反比例函數y1=

k

x

(k≠0)的圖象與一次函數y₂=ax+b（a≠0）的圖象交于點A（-4，1）和點B，直線y₂=ax+b分別交x軸、y軸于C、D兩點，且tan∠OCD=

1

2

．
（1）求這兩個函數的關系式，并求出B點的坐標；
（2）觀察圖象，直接寫出使得y₁＜y₂成立的自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把A（-4，1）代入y₁=

k

x

求出k，即可得出反比例函數的關系式；求出直線y₂=ax+b與x、y軸的交點，求出OD、OC，根據tan∠OCD=

OD

OC

=

1

2

，求出a=-

1

2

，把A（-4，1）代入一次函數y₂=ax+b得出1=-4a+b，求出b，即可得出一次函數的解析式；
（2）解方程組

y=- 4 x y=- 1 2 x-1

求出兩函數的交點的橫坐標是-4和2，結合圖象即可得出答案．

解答：解：（1）把A（-4，1）代入y1=

k

x

(k≠0)得：1=

k

-4

，
解得：k=-4，
即反比例函數的關系式是y₁=-

4

x

，
y₂=ax+b，
當x=0時，y=b，
當y=0時，x=-

b

a

，
即OC=

b

a

，OD=-b，
∵tan∠OCD=

OD

OC

=

1

2

=

-b

b a

，
∴a=-

1

2

，
∵把A（-4，1）代入一次函數y₂=ax+b得：1=-4a+b，
∴1=-4×（-

1

2

）+b，
∴b=-1，
即一次函數的關系式是y₂=-

1

2

x-1．
解

y=- 4 x y=- 1 2 x-1

得：

x1=-4 y1=1

，

x2=2 y2=-2

，
∵A（-4，1），
∴B的坐標是（2，-2）．

（2）使得y₁＜y₂成立的自變量x的取值范圍是：x＜-4或0＜x＜2．

點評：本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，用待定系數法求出一次函數、反比例函數的解析式等知識點，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，題目比較好．